주파수 영역처리(푸리에 변환#1, DFT)

영상은 현실세계(3차원) 공간상에 발생하는 사건 및 2차평면상에 그려진 이미지 등을
Vision화면(브라운관, CRT, LCD등..)에 Mapping한 것으로 볼 수 있다.

이들은 모두 2차원 평면이고, 이미지나 동영상등은 모두 어떠한 시간에 보여지는 것이므로
2차원 평면상의 특정 시간에 대하여 표현을 할 수가 있게 되며,
우리가 흔히 접하는 신호의 표현은 모두 시간축에 따른 신호의 세기의 2차원 표현 방식이다.
즉, 우리는 시간에 따른 신호의 변화를 직관적으로 알 수 있다.

푸리에 변환(Fourier Transform)  (신호의 표현, 변환)

- 개념

대개 우리는 임의의 Signal Wave(이하 신호)를 표현하고자 할 때 시간의 축에서 표현을 한다고 했다.
허나 시간의 축이 아닌 주파수 축에서 보더라도 Target이 되는 신호는 같은 신호일 것이므로,
주파수 축의 관점에서 재 해석 해보자는 것이 푸리에의 이론이다.

그 중 푸리에의 변환은 시간과 주파수 신호를 서로간의 Domain으로 변환이 가능하도록 해주는
변환이다. 이러한 변환이 가능하도록 해주는 이론은,
하나의 신호는 정현파(Sine Wave)들의 합으로 표현이 가능하다는 푸리에 급수에 기인하고 있으며,
더 나아가 주기를 무한대로 확장하여 Exponential form으로 변환, 주기의 특성을 없애줌으로
비주기적 신호의 함수를 나타낼 수 있게 되며, 모든 함수를 기저 함수의 조합들로 나타낼 수 있다.

우선 연속적인 1차원 신호에 대해서 먼저 살펴보면,

기저 함수는 sin(t),cos(t)로 주기와 주파수를 연관짓고,
각 항의 계수를 해당 주파수대에서의 신호의 크기와 연관 지을 수 있다.

허나 연속 푸리에 변환은 컴퓨터에서는 사용을 할 수 없다. 컴퓨터는 디지털이므로..
그로 인해 이산(불연속) 푸리에 변환이 나오게 되었고, 이를 사용한다.

따라서 이를 이산적인 신호에 적용하기 위해서는 먼저 연속된 신호를 시간축에 대해
Sampling할 필요가 있으며, 각 시간상에서의 신호의 크기도 컴퓨터 상에서 사용할 수 있게
일정한 값을 가지도록 Quantization되어야 한다.
두 과정을 통해 이산적인 신호로의 변경을 수행 할 수 있다.
여기에 DFT(Discrete Fourier Transform, 이산 푸리에 변환)을 이용, 신호의 주파수 영역에서의
특성을 알아 낼 수 있다.

N개의 시간축 상에서 Sampling한 이산 신호값이 있다 가정할 때 DFT를 적용하면 다음 식과 같다.

이 식의 역을 구하면, 반대로 주파수 영역에서 시간 영역으로의 변환을 할 수 있다.

- Postulation

a. 푸리에 변환은 선형적인 특성을 갖으며, 정역변환이 가능하다.
b. 미분형태의 고유함수가 Exponential Basis Function이다.

- 푸리에 변환(FT)의 사용 이유

a. Signal Wave의 Time-Domain으로 부터 Frequency-Domain으로의 변환 및 역변환
b. Spectral Density(스펙트럼의 밀도)를 구할 수 있다.

푸리에 변환을 사용하면
- 주기함수의 경우, Harmonic의 특성이 나타남으로, Discrete하게 분포되어 있는
  Line의 형태가 나타날 것이다.
- 비주기함수의 경우, 주파수 성분의 크기 분포를 보여주게 될 것이다.
한 예로서 Histogram(히스토그램)과 연관지어 생각해보면 떠오를 듯 싶다.