이산 시간 신호의 푸리에 변환

4.2 이산 시간 신호의 푸리에 변환 (DTFT: Discrete-Time Fourier Transform)

     - 연속시간 신호 x(t)를 표본화하여 이산시간 신호 x(nT)로 변환하여
        주파수 분포(스펙트럼)을 구한다.

     - 시간 영역에서는 discrete하나, 주파수 영역에서는 continuous 하다.
     - 일 때 의 푸리에 변환 이 존재하며,
        다음과 같이 정의 된다.

  이산 시간 신호의 푸리에 변환 쌍 (Discrete Time Fourier Transform Pair)

      -  의 푸리에 변환 은 복소수이며 다음과 같이 표시되고,

                

         이 때   를  의 진폭 스펙트럼(amplitude spectrum)이라 하며,

                   를 위상 스펙트럼(phase spectrum)이라 한다.

         예: 단위 임펄스 파형의 이산시간 푸리에 변환(DTFT)를 구하라

             
             

         예: 지연된 단위 임펄스 파형의 이산시간 푸리에 변환(DTFT)를 구하라

             
               

         예: 단위 계단 파형의 이산시간 푸리에 변환(DTFT)를 구하라

               
             

           예: 다음과 같은 비주기 펄스열의 DTFT를 구하고 진폭/위상 스펙트럼을 구하라

               

               

               

               

               

 4.3 이산 푸리에 변환 (DFT : Discrete Fourier Transform)

     - 완전한 디지털 신호처리를 위해서는 이산 주파수에 대한 값을 얻을 수
        있는 Fourier 변환이 필요하다.

     - 시간 영역에서도 discrete하고, 주파수 영역에서도 discrete 하다.
     - 일 때 의 푸리에 변환 이 존재하며,
        다음과 같이 정의 된다.

회전인자(twiddlw factor):

   이산 푸리에 변환 쌍 (Discrete Fourier Transform Pair)

         - N=8 인 경우의 회전 인자의 값 :  

             

       -  의 푸리에 변환 은 복소수이며 다음과 같이 표시되고,

                

         이 때   를  의 진폭 스펙트럼(amplitude spectrum)이라 하며,
                   를 위상 스펙트럼(phase spectrum)이라 한다.

      예:  다음과 같은 비주기 펄스열 x(n)의 DFT를 구하라

             

           

           

           

           
           
           
             

4.4 이산 푸리에 변환 (DFT)의 성질

properties
선형성 (Linearity)
주기성 (Periodicity)
추이정리 (Shift Theorem)
시간영역  컨볼루션
주파수영역  컨볼루션
대칭성 (Symmetry)